1) பின் வருவனவற்றின் மீ.பொ.வ காண்க.

x⁴-27a³x, (x-3a)²

தீர்வு:

x⁴-27a³x = x(xx³-27a³)

                 = x(x³-(3a)³)

                 = x(x-3a)(x²-3ax+9a²)

  (x-3a)²  = (x+3a)(x-3a)

பொதுக்காரணி (x-3a)
மீ.பொ.வ = x-3a.

2) பின் வருவனவற்றின் மீ.பொ.வ காண்க.

x²+14x+33, x³+10x²-11x

தீர்வு:

x²+14x+33 = (x+11)(x+3)

x³+10x²-11x = x(x²+10x+11)

                       = x(x+11)(x-1)

x²+14x+33 = (x+11)(x+3)

பொதுக்காரணி  (x+11)
மீ.பொ.வ = x+11.

3) பின் வருவனவற்றின் மீ.பொ.வ காண்க.
2x²-18y², 5x²y+15xy²,x³+27y³

தீர்வு:

2x²-18y² = 2(x²-9y²)

                = 2(x²-(3y)²)

                = 2(x+3y)(x-3y)

5x²y+15xy² = 5xy(x+3y)

x³+27y³ = x³-(3y³)

               = (x-3y)(x²+3xy+9y²)

மீ.பொ.வ = 10xy(x+3y)(x-3y)(x²+3xy+9y²).

4) பின் வருவனவற்றின் மீ.பொ.வ காண்க.

10(9x²+6xy+y²), 12(3x²-5xy-2y²), 14(6x⁴+2x³)

தீர்வு:

10(9x²+6xy+y²) = 10[(3x²)+2 X 3x+y+y²]

                             = 10(3x+y)²

12(3x²-5xy-2y²) = 12[(x-2y)(3x+y)]

14(6x⁴+2x³) = 14 X 2x³(3x+1)

                       = 28x³(3x+1)
மீ.பொ.வ = 420x³ (3x+y)²(x-2y)(3x+1).

5) பின் வருவனவற்றின் மீ.பொ.வ காண்க.

3(a-1), 2(a-1)², (a²-1)

தீர்வு:

3(a-1) = 3(a-1)

2(a-1)² = 2(a-1)²

(a²-1) = (a+1)(a-1)

மீ.பொ.வ = 6(a-1)²(a+1).

6) பின்வரும் சோடி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.ம காண்க.

தீர்வு:

x²-5x+6, x²+4x+2 இவற்றின் மீ.பொ.வ = x-2.

P(x) = x²-5x+6

         = (x-3)(x-2)

g(x) = x²+4x-12

        = (x+6)(x-2)
மீ.பொ.வ = x-2
மீ.பொ.ம= [P(x) X g(x)] / மீ.பொ.வ

                     = [(x-3)(x-2)(x+6)(x-2)] / (x-2)

மீ.பொ.வ = (x-3)(x+6)(x-2).

7) பின்வரும் சோடி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.ம காண்க.

x⁴+3x³+6x²+5x+3, x⁴+2x²+x+2 இவற்றின் மீ.பொ.வ (x²+x+1)

தீர்வு:

P(x) = x⁴+3x³+6x²+5x+3

g(x) = x⁴+2x²+x+2

P(x) = (x²+x+1)(x²+2x+3)

மீ.பொ.ம= [P(x) X g(x)] / மீ.பொ.வ

                   = [(x²+x+1)(x²+2x+3)(x⁴+2x²+x+2)] / (x²+x+1)

                   = (x²+2x+3)(x⁴+2x²+x+2)

8) பின்வரும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.ம காண்க.

2x³+15x²+2x-35, x³+8x²+4x-21

தீர்வு:

இவற்றின் மீ.பொ.வ=x+7
மீ.பொ.வ

P(x) =(x+7)(2x²+x-5)

மீ.பொ.வ = [P(x) X g(x)] / மீ.பொ.வ

                    = [(x+7)(2x²+x-5)(x³+8x²+4x-21)] / (x+7)
மீ.பொ.வ = (2x²+x-5)(x³+8x²+4x-21) .

9) பின்வரும் விகிதமுறு கோவைகளை எளிய வடிவிற்குச் சுருக்குக.

5x+20 / 7x+28.

தீர்வு:

5x+20 / 7x+28

                 = 5(x+4) / 7(x+4)

                 = 5/7

10) பின்வருவனவற்றை எளிய வடிவிற்குச் சுருக்குக.
6x²+9x / 3x²-12x

தீர்வு:
         6x²+9x / 3x²-12x

                        = 3x(2x+3) / 3x(x-4)

                         = (2x+3) / x-4

11) பின்வருவனவற்றை எளிய வடிவிற்குச் சுருக்குக.
[(x-1)(x-2)(x²-9x+14)] / [(x-7)(x²-3x+2)]

தீர்வு:
                          

12) பின்வருவனவற்றை பெருக்கி சுருக்கிய வடிவில் எழுதுக.

x²-2x/x+2   X    3x+6/x-2

தீர்வு:

                      x²-2x = x(x-2)

                      3x+6 = 3(x+2)

             x(x-2)/(x+2)   X   3(x+2)/(x-2)

              =  3x

13) பின்வருவனவற்றை பெருக்கி சுருக்கிய வடிவில் எழுதுக.

x²-3x-10 / x²-x-20   X   x²-2x+4/x³+8

தீர்வு:

             x²-3x-10 / x²-x-20   X   x²-2x+4/x³+8

           x²-3x-10 = (x-5)(x+2)

           x²-x-20 = (x-5)(x+4)

           x²-2x+4 = x²-2x+4

               x³+8  = x³ + 2³

            (x-5)(x+2) / (x-5)(x+4)   X    x²-2x+4/(x+2)(x²-2x+4)

              = 1 / x+4

14) பின்வருவனவற்றை எளிய வடிவில் சுருக்கி எழுதுக.

x / x+1    ÷    x² / x²-1

தீர்வு:

                    x / x+1    ÷    x² / x²-1

                    x²-1   =  (x+1)(x-1)

                   x / x+1     X    x²-1 / x²

                 =  x / x+1  X (x+1)(x-1) / x²

                          =  x-1 / x

15) பின்வருவனவற்றை எளிய வடிவில் சுருக்கி எழுதுக.

x²-4x-5 / x²-25    ÷   x²-3x-10 / x²+7x+10
தீர்வு:

                     x²-4x-5 / x²-25    ÷   x²-3x-10 / x²+7x+10

                                   x²-4x-5    =  (x-5)(x+1)

                                    x²-25      =  x²-5² = (x+5)(x-5)

                              x²-3x-10         = (x-5)(x+2)

                                 x²+7x+10  = (x+5)(x+2)

                 x²-4x-5 / x²-25    ÷   x²+7x+10 / x²-3x-10

         =   (x-5)(x+1) / (x+5)(x-5)    X     (x+5)(x+2) / (x-5)(x+2)

                       = x+1 / x-5

 16) சுருக்குக. x+2/x+3  +    x-1/x-2

தீர்வு:

17) என்பதை இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் ஒரு பின்னமாக (விகிதமுறு கோவையாக) எளிய வடிவில் சுருக்குக.

தீர்வு:

18) x³-1 / x²+2 உடன் எந்த விகிதமுறுக் கோவையை கூட்ட 3x³+2x²+4 / x²+2 கிடைக்கும் ?

தீர்வு:

கூட்ட வேண்டிய விகிதமுறு கோவை

19) பின்வரும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வர்க்க மூலத்தை வகுத்தல் முறைமூலம் காண்க.

x⁴-4x³+10x²-12x+9

√x⁴-4x³+10x²-12x+9 = | X² -2x+3 |

20) பின்வரும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் முழுவர்க்கங்கள் எனில் ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக்காண்.

4x⁴-12x³+37x²+ax+b

கொடுக்கப்பட்டுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு முழுவர்க்கமாதலால்

a+42 = 0

a = -42

b-49 = 0

b = 49
a ன் மதிப்பு = -42
b ன் மதிப்பு = 49

21) காரணிப்படுத்தும் முறையில் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள இருபடிச் சமனிபாடுகளை தீர்க்க.
(2x+3)²-81 = 0
தீர்வு:

(2x+3)²-81 = 0

(2x+3)²-3² = 0

(2x+3+9)(2x+3-9) = 0

(2x+12)(2x-6) = 0

2x+12 = 0 அல்லது 2x-6 = 0

2x = -12 அல்லது 2x = 6

x = -12/2 = -6 அல்லது x = 6/2 = 3

தீர்வுகணம் {-6,3}

22) காரணிப்படுத்தும் முறையில் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள இருபடிச் சமன்பாடுகளை தீர்க்க.

3(x²-6) = x(x+7)-3

தீர்வு:

3(x²-6) = x(x+7)-3

3x²+8 = x²+7x-3

3x²-x²-18-7x+3 = 0

2x²-7x-15 = 0

(x-5)(2x+3) = 0

x-5 = 0 அல்லது 2x+3 = 0

x = 5 அல்லது 2x = -3 x = -3/2

தீர்வுகணம் {-3/2, 5}

23) வர்க்கப்பூர்த்தி முறையில் பின்வரும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.

x²+6x-7 = 0

தீர்வு:

x²+6x-7 = 0 (x - ன் கெழுவின் பாதி 3)

இருபுறமும் 3² = 9 ஐக் கூட்ட

x²+6x+9 = 7+9

(x+3)² = 16

x+3 ± 4

x+3 = 4 அல்லது x+3 = -4

x = 1 அல்லது x = -7

தீர்வு கணம் { -7,1}

24) இருபடிச் சூத்திரத்தை பயன்படுத்தி பின்வரும் சமன்பாட்டை தீர்க்க.

x²-7x+12 = 0

தீர்வு:

x²-7x+12 = 0
இங்கு a = 1, b = -7, c = 12

7+1/2 அல்லது 7-1/2
8/2 அல்லது 6/2
4 அல்லது 3
தீர்வுகணம் {4,3}

25)  பின்வரும் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய்யெண்கள் மற்றும் சமமானவை எனில் ன் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடி.

2x²-10x+k = 0
தீர்வு:

2x²-10x+k = 0

a = 2, b = -10, c = k
சமன்பாட்டின் மூலங்கள் சமம் எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால்

b²-4ac = 0

(100) - 4(2)(k) = 0

100 - 8k = 0

100 = 8k

k = 100/8 = 25/2

k ன் மதிப்பு = 25/2.