ഒരു ബഹുഭുജത്തിലെ കോണുകളുടെ തുകയും ബാഹ്യകോണുകളുടെ തുകയും ത്യല്യമാണ്. ബഹുഭുജത്തിന് എത്ര വശങ്ങളുണ്ട്?

ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം n ആയാല്‍
               
ബഹുഭുജത്തിന് 4 വശങ്ങളുണ്ട്.
  ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ ഓരോ ബാഹ്യകോണും 20° ആണ്. അതിന് എത്ര വശങ്ങളുണ്ട്?

ഓരോ ബാഹ്യകോണിന്റെയും അളവ് = 20°
ബാഹ്യകോണുകളുടെ തുക = 360°
ബാഹ്യകോണുകളുടെ എണ്ണം =
                                     
∴ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം = 18.

  കോണുകളെല്ലാം തുല്യവും, വശങ്ങള്‍ തുല്യമല്ലാത്തതുമായ ഒരു ഷഡ്ഭുജം വരയ്ക്കുക.

AB, ED  എന്നീ സമാന്തര രേഖകള്‍ വ്യത്യസ്ത നീളത്തില്‍ വരക്കുക.
∠B = 120° നിര്‍മ്മിച്ച്‌ ഒരു രേഖ വരക്കുക.
ഈ രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി E യിലൂടെ ഒരു രേഖ വരയ്ക്കുക.
∠A = 120° നിര്‍മ്മിച്ച്‌  ഒരു രേഖ വരയ്ക്കുക.
ഈ രേഖ വരയ്ക്ക് സമാന്തരമായി D യിലൂടെ ഒരു രേഖ വരയ്ക്കുക.
ഷഡ്ഭുജം ABCDEF ലെ കോണുകള്‍ എല്ലാം തുല്യവും (120° വീതം) വശങ്ങളുടെ നീളം വ്യത്യാസമുള്ളവയും ആയിരിക്കും.
  ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന കോണുകളില്‍ ഏതെല്ലാം സമബഹുഭുജത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണ്‍ ആകാം?
    12°, 15°, 2½°, 33°.
ബാഹ്യകോണുകളുടെ തുകയായ 360° യെ തന്നിരിക്കുന്ന കോണളവുകള്‍ കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ഹരണഫലം എണ്ണല്‍ സംഖ്യയാണെങ്കില്‍ ആ കോണ്‍ ഒരു സമബഹുഭുജത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണ്‍ ആയിരിക്കും.

• 12° ;
  360° ÷ 12 = 30 സമഭുജത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണ്‍ ആകുന്നു.
  
  
• 15° ;
  സമഭുജത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണ്‍ ആകുന്നു.
  
  
• 2 ½°  ;
  ബാഹ്യകോണ്‍ ആകുന്നു.
  
  
• 33° ;
  = ഒരു എണ്ണല്‍ സംഖ്യയല്ല. അതുകൊണ്ട് ബാഹ്യകോണ്‍ അല്ല.

 36 വശങ്ങളുള്ള ഒരു സമഭുജത്തിന്റെ ഒരു ആന്തരകോണിന്റെ അളവ് എത്ര?
വശങ്ങളുടെ എണ്ണം, n = 36
സമഭുജത്തിന്റെ കോണുകളുടെ തുക = (36 - 2) × 180°
                                               = 34 × 180°  = 6120°.
  സാമാന്തരികം PQRS-ല്‍ Q എന്ന ശീര്‍ഷത്തിലെ ഒരു ബാഹ്യകോണിന്റെ അളവ് x° ആയാല്‍ ∠S ന്റെ അളവെന്ത്?

∠PQR = 180 - x(രേഖീയ ജോടികള്‍)

∠S = (180 - x)°  (സാമാന്തരികത്തിന്റെ എതിര്‍കോണുകള്‍ തുല്യം)

  9 വശങ്ങളുള്ള ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ കോണുകളെല്ലാം തുല്യമാണ്. ഇതിലെ ഓരോ കോണിന്റെയും അളവെന്ത്?
കോണുകളുടെ തുക = (9 - 2) × 180 = 1260°
ഓരോ കോണിന്റെയും അളവ് =
                                      

  ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ ആന്തരകോണുകളുടെ തുകയും ബാഹ്യകോണുകളുടെ തുകയും ത്യല്യമാണ്. എങ്കില്‍ ആ ബഹുഭുജത്തിന് എത്ര വശങ്ങളുണ്ട്?
ആന്തരകോണുകളുടെ തുക  = ബാഹ്യകോണുകളുടെ തുക  = 360
(n - 2) × 180 = 360 ⇒ n - 2 = 2 ⇒ n = 4
അതായത് വശങ്ങള്‍ = 4.
  ഒരു ബഹുഭുജത്തിന് 12 വശങ്ങളുണ്ട്. ഇതിന്റെ വശങ്ങളെ അനുക്രമമായി നീട്ടുമ്പോഴുണ്ടാകുന്ന ബാഹ്യകോണുകളെല്ലാം തുല്യമാണ്. എങ്കില്‍ അവയിലോരോന്നിന്റെയും അളവെന്ത്?
ബാഹ്യകോണുകളുടെ തുക = 360°
ഒരു ബാഹ്യകോണ്‍ =
                        

  ഒരു സമബഹുഭുജത്തിന്റെ ഒരു ബാഹ്യകോണിന്റെ അളവ് 45° ആയാല്‍ അതിന് എത്ര വശങ്ങളുണ്ട്?
ബാഹ്യകോണുകളുടെ തുക = 360°
വശങ്ങള്‍ = 360 ÷ 45 = 8.
  ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ ഓരോ ശീര്‍ഷത്തിലുമുള്ള ആന്തരകോണിന്റെ അളവും ബാഹ്യകോണിന്റെ അളവും 5 : 1 എന്ന അംശബന്ധത്തിലായാല്‍ ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം എത്ര?
ഒരു ബാഹ്യകോണ്‍ = 180 × 1/6
                           = 30°.
വശങ്ങള്‍ =
            
 ചിത്രത്തില്‍ ABCD-യുടെ A എന്ന ശീര്‍ഷത്തിലും C എന്ന ശീര്‍ഷത്തിലും ബാഹ്യകോണുകള്‍ വരച്ചിരിക്കുന്നു. x + y = a + b എന്ന് തെളിയിക്കുക.

                
BD യോജിപ്പിക്കുക.
a = ∠CDB + ∠CBD
(BCD എന്ന ത്രികോണത്തിലെ ബാഹ്യകോണ്‍ ആന്തര വിദൂരകോണുകളോടു തുല്യം.)
അതുപോലെ b  = ∠ADB + ∠ABD.
(Δ ABD യിലെ ബാഹ്യകോണ്‍)
∠CDB + ∠ADB = ∠D = x.
∠CBD + ∠ABD = ∠B = y
a + b = ∠CDB + ∠CBD + ∠ADB + ∠ABD
         = ∠CDB + ∠ADB + ∠CBD + ∠ABD
         = x + y.
 ഒരു സമബഹുഭുജത്തിലെ ഒരു ബാഹ്യകോണിന്റെ അളവ് 23° ആകാമോ? എന്തുകൊണ്ട്?

ഒരു ബാഹ്യകോണ്‍ 23° എങ്കില്‍ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം = 360 ÷ 23
ഇത് ഒരു പൂര്‍ണസംഖ്യയാകുന്നില്ല.
വശങ്ങളുടെ എണ്ണം പൂര്‍ണസംഖ്യ വരേണ്ടതാണ്.
∴ ഈ അളവ് സാധ്യമല്ല.